Упр.10.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте на одном чертеже графики таких двух взаимно-обратных функций у = f(x) и у = g(x) чтобы уравнение f(x) = g(x : а) имело один корень; б) имело три корня; в) имело бесконечно много корней; г) не имело корней.

Так как функции взаимно обратные, их графики симметричны относительно прямой $$y=x$$. Поэтому число корней уравнения $$f(x)=g(x)$$ равно числу точек пересечения графиков.

1. Чтобы уравнение имело один корень, достаточно взять две взаимно обратные прямые, пересекающиеся в одной точке на прямой $$y=x$$, например:

   $$f(x)=2x+1,\qquad g(x)=\frac{x-1}{2}.$$

   Тогда графики пересекаются только в одной точке, значит уравнение $$f(x)=g(x)$$ имеет один корень.

2. Чтобы уравнение имело три корня, можно взять взаимно обратные функции с тремя точками пересечения, например:

   $$f(x)=0{,}25x^3,\qquad g(x)=\sqrt[3]{4x}.$$

   Их графики пересекаются в трёх точках, значит уравнение имеет три корня.

3. Чтобы уравнение имело бесконечно много корней, нужно взять функцию, совпадающую со своей обратной, например:

   $$f(x)=x,\qquad g(x)=x.$$

   Тогда $$f(x)=g(x)$$ верно при любом $$x$$, то есть корней бесконечно много.

4. Чтобы уравнение не имело корней, нужно расположить графики взаимно обратных функций так, чтобы они не пересекались, например:

   $$f(x)=\sqrt{x}-5,\qquad g(x)=x^2+5.$$

   В этом случае точек пересечения нет, значит корней нет.

Ответ

Можно построить, например, такие пары взаимно обратных функций:

а) $$f(x)=2x+1,\ g(x)=\frac{x-1}{2}$$ — один корень;

б) $$f(x)=0{,}25x^3,\ g(x)=\sqrt[3]{4x}$$ — три корня;

в) $$f(x)=x,\ g(x)=x$$ — бесконечно много корней;

г) $$f(x)=\sqrt{x}-5,\ g(x)=x^2+5$$ — корней нет.