Упр.10.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте на одном чертеже графики таких двух взаимно-обратных функций у = f(x) и у = g(x), чтобы уравнение f(x) = x: а) имело один корень; б) имело три корня; в) имело бесконечно много корней; г) не имело корней.

У взаимно-обратных функций графики симметричны относительно прямой $$y=x$$. Поэтому число корней уравнения $$f(x)=x$$ равно числу точек пересечения графика функции $$y=f(x)$$ с прямой $$y=x$$.

1. а) Один корень. Достаточно построить две взаимно-обратные функции, график одной из которых пересекает прямую $$y=x$$ в одной точке. Например, можно взять линейные взаимно-обратные функции

   $$f(x)=3x-2,\qquad g(x)=\frac{x+2}{3}.$$

   Тогда

   $$f(x)=x \;\Rightarrow\; 3x-2=x \;\Rightarrow\; 2x=2 \;\Rightarrow\; x=1.$$

2. б) Три корня. Подойдут взаимно-обратные функции, график которых пересекает прямую $$y=x$$ в трёх точках. Например,

   $$f(x)=x^3,\qquad g(x)=\sqrt[3]{x}.$$

   Тогда

   $$f(x)=x \;\Rightarrow\; x^3=x \;\Rightarrow\; x(x^2-1)=0 \;\Rightarrow\; x=-1,\;0,\;1.$$

3. в) Бесконечно много корней. Если взять функцию, совпадающую со своей обратной, например

   $$f(x)=x,\qquad g(x)=x,$$

   то уравнение

   $$f(x)=x$$

   верно при любом $$x$$, значит корней бесконечно много.

4. г) Нет корней. Нужно, чтобы график $$y=f(x)$$ не пересекал прямую $$y=x$$. Например,

   $$f(x)=x+2,\qquad g(x)=x-2.$$

   Тогда

   $$f(x)=x \;\Rightarrow\; x+2=x,$$

   что невозможно. Следовательно, корней нет.

Ответ

Можно взять, например:

а) $$f(x)=3x-2,\; g(x)=\frac{x+2}{3}$$; б) $$f(x)=x^3,\; g(x)=\sqrt[3]{x}$$; в) $$f(x)=x,\; g(x)=x$$; г) $$f(x)=x+2,\; g(x)=x-2$$.