Упр.10.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть у = f(x) и у — g(x) — взаимно-обратные функции. Постройте на двух различных чертежах графики функций у = f(g(x)) и у = g(f(x)), если: а) D(f) = E(f) = R; в) D(f) = [1;3]; E(f) = R б) D(f) = E(f) = (0; 3]; г) D(f) = [-2; 3]; E(f) = [-3; 2].
Так как функции $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ взаимно обратные, то при композиции получаем тождественные преобразования на соответствующих областях определения:
$$f(g(x))=x,\quad x\in D(g),$$
$$g(f(x))=x,\quad x\in D(f).$$
Значит, график $$y=f(g(x))$$ — это часть прямой $$y=x$$ на области определения функции $$g$$, а график $$y=g(f(x))$$ — часть прямой $$y=x$$ на области определения функции $$f$$.
а) $$D(f)=E(f)=\mathbb{R}$$
Тогда $$D(g)=\mathbb{R}$$, и обе композиции задаются на всей числовой прямой:
$$y=f(g(x))=x,\quad x\in\mathbb{R};$$
$$y=g(f(x))=x,\quad x\in\mathbb{R}.$$б) $$D(f)=E(f)=(0;3]$$
Тогда $$D(g)=(0;3]$$, поэтому
$$y=f(g(x))=x,\quad x\in(0;3];$$
$$y=g(f(x))=x,\quad x\in(0;3].$$в) $$D(f)=[1;3],\ E(f)=\mathbb{R}$$
Тогда $$D(g)=\mathbb{R}$$, а для второй композиции область определения совпадает с $$D(f)$$:
$$y=f(g(x))=x,\quad x\in\mathbb{R};$$
$$y=g(f(x))=x,\quad x\in[1;3].$$г) $$D(f)=[-2;3],\ E(f)=[-3;2]$$
Тогда $$D(g)=[-3;2]$$, и получаем
$$y=f(g(x))=x,\quad x\in[-3;2];$$
$$y=g(f(x))=x,\quad x\in[-2;3].$$
Ответ
а) $$y=x,\ x\in\mathbb{R}$$ и $$y=x,\ x\in\mathbb{R}$$;
б) $$y=x,\ x\in(0;3]$$ и $$y=x,\ x\in(0;3]$$;
в) $$y=x,\ x\in\mathbb{R}$$ и $$y=x,\ x\in[1;3]$$;
г) $$y=x,\ x\in[-3;2]$$ и $$y=x,\ x\in[-2;3]$$.
