Упр.10.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: у = f(x) и у = g(x) — взаимно-обратные функции. а) f(3) = 5 и g(7) = 1. Решите уравнения f(x) = 7 и g(x) = 3. б) f(4) = 4 и g(25) = 9. Решите уравнения f(x2) = 25 и g(x2) = 4. в) f(15) = -3 и g(-7) = 1. Решите уравнения f(t) = -7 и g(t) = 15. г) f(7) = 5 и g(7) = 1. Решите уравнения f(3x) = 7 и g(5 — x) = 5.

1. Если функции $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ взаимно обратные, то из равенства $$f(a)=b$$ следует $$g(b)=a$$, и наоборот.

   а) $$f(3)=5$$, $$g(7)=1$$.

   Из $$f(3)=5$$ получаем: $$f(x)=7 \Rightarrow x=1$$, так как $$g(7)=1$$.

   Из $$g(7)=1$$ получаем: $$g(x)=3 \Rightarrow x=5$$, так как $$f(3)=5$$.

2. б) $$f(4)=4$$, $$g(25)=9$$.

   Из $$g(25)=9$$ следует: $$f(x^2)=25 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$.

   Из $$f(4)=4$$ следует: $$g(x^2)=4 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$.

3. в) $$f(15)=-3$$, $$g(-7)=1$$.

   Из $$g(-7)=1$$ получаем: $$f(t)=-7 \Rightarrow t=1$$.

   Из $$f(15)=-3$$ получаем: $$g(t)=15 \Rightarrow t=-3$$.

4. г) $$f(7)=5$$, $$g(7)=1$$.

   Из $$g(7)=1$$ следует: $$f(3x)=7 \Rightarrow f(1)=7 \Rightarrow 3x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{3}$$.

   Из $$f(7)=5$$ следует: $$g(5-x)=5 \Rightarrow f(5)=5 \Rightarrow 5-x=5 \Rightarrow x=0$$.

Ответ

а) $$x=1$$, $$x=5$$; б) $$x=\pm 3$$, $$x=\pm 2$$; в) $$t=1$$, $$t=-3$$; г) $$x=\frac{1}{3}$$, $$x=0$$.