Упр.10.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: (См. задание на с. 65.) у = x2 — 4x + 18: а) на R; в) на (-бесконечность; 0]; б) на [2; +бесконечность); г) на [-бесконечность; 3).

Приведём функцию к вершиной форме:

$$y=x^2-4x+18=(x-2)^2+14.$$

Парабола направлена ветвями вверх, её вершина имеет абсциссу $$x_0=2.$$

Обратная функция может существовать только на промежутке, где исходная функция монотонна, то есть на одной ветви параболы.

1. На $$\mathbb{R}$$ функция не является взаимно однозначной, значит обратной функции нет.

2. На $$[2;+\infty)$$ функция возрастает. Тогда

   $$y=(x-2)^2+14,$$

   $$x=(y-2)^2+14,$$

   $$x-14=(y-2)^2,$$

   $$y-2=\sqrt{x-14}.$$

   Следовательно,

   $$y=\sqrt{x-14}+2,$$

   где $$x\ge 14.$$

3. На $$(-\infty;0]$$ функция убывает. Тогда

   $$y=(x-2)^2+14,$$

   $$x=(y-2)^2+14,$$

   $$x-14=(y-2)^2,$$

   $$y-2=-\sqrt{x-14}.$$

   Следовательно,

   $$y=2-\sqrt{x-14},$$

   где $$x\ge 18.$$

4. На $$(-\infty;3)$$ функция не является взаимно однозначной, значит обратной функции нет.

Ответ

а) нет; б) $$y=\sqrt{x-14}+2,$$ $$x\ge 14$$; в) $$y=2-\sqrt{x-14},$$ $$x\ge 18$$; г) нет.