Упр.10.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: у = (x + 3 2 — 2: а) на R; б) на [-3; +бесконечность); в) на (-бесконечность; -3]; г) на [-4; 4].
Рассмотрим функцию $$y=(x+3)^2-2=x^2+6x+7.$$ Это парабола с ветвями вверх, её вершина имеет абсциссу
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot 1}=-3.$$
Обратная функция может существовать только на промежутке, где исходная функция монотонна, то есть на одной ветви параболы.
На $$\mathbb{R}$$ функция не взаимно однозначна, значит обратной функции не существует.
На $$[-3;+\infty)$$ функция возрастает. Тогда
$$y=(x+3)^2-2,$$
$$x=(y+3)^2-2,$$
$$x+2=(y+3)^2,$$
$$y+3=\sqrt{x+2},$$
$$y=\sqrt{x+2}-3.$$
Так как на исходном промежутке $$y\ge -2,$$ то область определения обратной функции: $$D(y)=[-2;+\infty).$$
На $$(-\infty;-3]$$ функция убывает. Тогда
$$y=(x+3)^2-2,$$
$$x=(y+3)^2-2,$$
$$x+2=(y+3)^2,$$
$$y+3=-\sqrt{x+2},$$
$$y=-\sqrt{x+2}-3.$$
Здесь также $$D(y)=[-2;+\infty).$$
На $$[-4;4]$$ функция не является взаимно однозначной, поэтому обратной функции не существует.
Ответ
а) не существует; б) $$y=\sqrt{x+2}-3$$; в) $$y=-\sqrt{x+2}-3$$; г) не существует.
