Упр.10.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: у = x2 — 2: а) на R; б) на [1; 2); в) на (-1; 5]; г) на [-2; 0].

Обратная функция к квадратичной существует только на промежутке, где функция монотонна, то есть содержит одну ветвь параболы.

Дана функция $$y=x^2-2.$$ Вершина параболы: $$x_0=-\frac{b}{2a}=0,$$ ветви направлены вверх, так как $$a=1>0.$$

1. На $$\mathbb{R}$$ функция не является взаимно однозначной, поэтому обратной функции не существует.

2. На промежутке $$[1;2)$$ функция возрастает. Тогда

   $$y_{\min}=1^2-2=-1,\qquad y_{\max}=2^2-2=2.$$

   Следовательно, область значений исходной функции:

   $$E(f)=[-1;2).$$

   Найдём обратную функцию:

   $$x=y^2-2,$$
   $$y^2=x+2,$$
   $$y=\sqrt{x+2}.$$

   Так как на исходном промежутке $$x\ge 1,$$ то для обратной функции берём положительную ветвь. Получаем:

   $$y=\sqrt{x+2},\qquad D(y)=[-1;2),\qquad E(y)=[1;2).$$

3. На промежутке $$(-1;5]$$ функция не является монотонной, поэтому обратной функции не существует.

4. На промежутке $$[-2;0]$$ функция убывает. Тогда

   $$y_{\min}=0^2-2=-2,\qquad y_{\max}=(-2)^2-2=2.$$

   Следовательно,

   $$E(f)=[-2;2].$$

   Найдём обратную функцию:

   $$x=y^2-2,$$
   $$y^2=x+2,$$
   $$y=-\sqrt{x+2}.$$

   Так как на исходном промежутке $$x\le 0,$$ берём отрицательную ветвь. Получаем:

   $$y=-\sqrt{x+2},\qquad D(y)=[-2;2],\qquad E(y)=[-2;0].$$

Ответ

а) не существует; б) $$y=\sqrt{x+2}$$; в) не существует; г) $$y=-\sqrt{x+2}$$.