Упр.10.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Рассмотрите данную функцию на каждом из указанных промежутков; если она на этом промежутке имеет обратную функцию, то задайте обратную функцию аналитически, укажите ее область определения и область значений, постройте ее график: у = x2: а) на R; в) на (-1; 5]; б) на [1; +бесконечность); г) на (-бесконечность; 0].

Квадратичная функция $$y=x^2$$ на всей области определения не является взаимно однозначной, поэтому обратная функция существует только на промежутках, где берётся одна ветвь параболы и функция монотонна.

а) На $$\mathbb{R}$$ обратной функции не существует, так как функция $$y=x^2$$ не взаимно однозначна: например, значениям $$x=1$$ и $$x=-1$$ соответствует одно и то же значение $$y=1$$.

б) На $$[1;+\infty)$$ функция возрастает, значит, обратная функция существует.

Найдём её:

$$ y=x^2 \\ x=y^2 \\ y=\sqrt{x} $$

Так как на исходном промежутке $$x\ge 1$$, то область определения обратной функции:

$$ D(y)=[1;+\infty) $$

Множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции на этом промежутке:

$$ E(y)=[1;+\infty) $$

График обратной функции получается отражением графика $$y=x^2$$ на $$[1;+\infty)$$ относительно прямой $$y=x$$.

в) На $$(-1;5]$$ функция $$y=x^2$$ не является взаимно однозначной, так как на этом промежутке она сначала убывает, а затем возрастает. Следовательно, обратной функции не существует.

г) На $$(-\infty;0]$$ функция убывает, значит, обратная функция существует.

Найдём её:

$$ y=x^2 \\ x=y^2 \\ y=-\sqrt{x} $$

Так как на исходном промежутке $$x\le 0$$, то область определения обратной функции:

$$ D(y)=[0;+\infty) $$

Множество значений обратной функции:

$$ E(y)=(-\infty;0] $$

График обратной функции — отражение ветви параболы $$y=x^2$$ при $$x\le 0$$ относительно прямой $$y=x$$.

Ответ

а) обратной функции не существует;
б) $$y=\sqrt{x},\ D(y)=[1;+\infty),\ E(y)=[1;+\infty)$$;
в) обратной функции не существует;
г) $$y=-\sqrt{x},\ D(y)=[0;+\infty),\ E(y)=(-\infty;0]$$.