Упр.10.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Может ли функция иметь обратную, если она: а) четная; в) периодическая; б) нечетная; г) непериодическая?
а) Чётная функция. Если $$f(-x)=f(x),$$ то одному значению функции соответствуют, как правило, два значения аргумента: $$x$$ и $$-x.$$ Значит, функция не является взаимно однозначной и обратную иметь не может. Исключение — случай, когда область определения состоит только из одной точки $$D(f)=\{0\}.$$
Ответ: может, если $$D(f)=\{0\}.$$
б) Нечётная функция. Нечётная функция может иметь обратную. Например, $$y=\frac{1}{x}$$ — нечётная функция, и ей соответствует обратная функция:
$$x=\frac{1}{y}$$
$$xy=1$$
$$y=\frac{1}{x}$$Здесь каждому значению $$x$$ соответствует единственное значение $$y,$$ то есть функция взаимно однозначна.
Ответ: может.
в) Периодическая функция. Если функция периодическая, то одному значению $$y$$ соответствуют бесконечно многие значения аргумента:
$$x,\; x+T,\; x+2T,\; \dots$$
Следовательно, такая функция не может иметь обратную.
Ответ: не может.
г) Непериодическая функция. Непериодичность сама по себе не мешает существованию обратной функции. Например, $$y=x$$ не является периодической, и ей обратна функция $$y=x.$$
Ответ: может.
Ответ
а) может, если $$D(f)=\{0\}$$; б) может; в) не может; г) может.
