Упр.10.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Обязательно ли функция имеет обратную, если она: а) линейная; в) вида у=корень из x + а; б) дробно-линейная; г) вида у = х3 + а?

Подробный ответ

Функция имеет обратную тогда и только тогда, когда она взаимно однозначна, то есть каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции и наоборот.

а) Линейная функция $$y=kx+b$$
Если $$k\ne 0$$, то функция строго монотонна, значит, обратимая. Её обратная функция находится из уравнения
$$x=ky+b$$
$$y=\frac{x-b}{k}$$
Следовательно, линейная функция имеет обратную.
б) Дробно-линейная функция $$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$
При $$ad-bc\ne 0$$ такая функция взаимно однозначна на своей области определения, поэтому обратная функция существует. Найдём её:
$$x=\frac{ay+b}{cy+d}$$
$$x(cy+d)=ay+b$$
$$xcy+dx=ay+b$$
$$y(cx-a)=b-dx$$
$$y=\frac{b-dx}{cx-a}$$
Значит, дробно-линейная функция также имеет обратную.
в) Функция вида $$y=\sqrt{x+a}$$
На своей области определения $$x\ge -a$$ эта функция возрастает, поэтому каждому значению $$x$$ соответствует единственное значение $$y$$. Обратная функция существует:
$$x=\sqrt{y+a}$$
$$x^2=y+a$$
$$y=x^2-a$$
Следовательно, функция имеет обратную.
г) Функция вида $$y=x^3+a$$
Кубическая функция строго возрастает на всей числовой прямой, значит, обратимая. Найдём обратную:
$$x=y^3+a$$
$$y^3=x-a$$
$$y=\sqrt[3]{x-a}$$
Следовательно, функция имеет обратную.