Упр.10.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Может ли функция иметь обратную, если она: а) линейная; в) дробно-линейная; б) квадратичная; г) вида у = корень из(x + а ?

Подробный ответ

а) Линейная функция.
Линейная функция имеет вид $$y=kx+b$$, где $$k\ne 0$$. Найдём обратную:
$$x=ky+b$$
$$ky=x-b$$
$$y=\frac{x-b}{k}$$
Для каждого значения $$x$$ получается единственное значение $$y$$, значит обратная функция существует.
Может.
б) Квадратичная функция.
График квадратичной функции — парабола. Одному значению $$y$$ обычно соответствуют два значения $$x$$, поэтому функция не является взаимно однозначной и обратной функции на всей области определения не имеет.
Не может.
в) Дробно-линейная функция.
Пусть
$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$
Тогда обратную функцию найдём из уравнения:
$$x=\frac{ay+b}{cy+d}$$
$$x(cy+d)=ay+b$$
$$xcy+dx=ay+b$$
$$xcy-ay=b-dx$$
$$y(cx-a)=b-dx$$
$$y=\frac{b-dx}{cx-a}$$
Каждому значению $$x$$ соответствует единственное значение $$y$$, значит обратная функция существует.
Может.
г) Функция вида $$y=\sqrt{x+a}$$.
Найдём обратную:
$$x=\sqrt{y+a}$$
$$x^2=y+a$$
$$y=x^2-a$$
На области определения исходной функции $$x\ge -a$$ она взаимно однозначна, поэтому обратная функция существует.
Может.