Упр.1.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.9. а) Если а + b делится на с, а а — b не делится на с, то ни а, ни b не делятся на с; б) ad + bc + ас + bd делится на а + b; в) если ad + bc делится на а + b то и ас + bd делится на а + b; г) если ad + bc не делится на а + b > то и ас + bd не делится на а + b.

Подробный ответ

а) Пусть $$a+b$$ делится на $$c$$, а $$a-b$$ не делится на $$c$$. Докажем, что тогда ни $$a$$, ни $$b$$ не делятся на $$c$$.
Предположим противное: пусть $$a$$ делится на $$c$$. Тогда $$a=ck$$, а из $$a+b=cm$$ получаем
$$b=cm-ck=c(m-k),$$
то есть $$b$$ тоже делится на $$c$$. Тогда
$$a-b=ck-c(m-k)=c(2k-m),$$
и значит, $$a-b$$ делится на $$c$$, что противоречит условию. Следовательно, $$a \notdiv c$$ и $$b \notdiv c$$.
б) Если $$a,b,c,d \in \mathbb{N}$$, то
$$ad+bc+ac+bd=a(d+c)+b(c+d)=(a+b)(c+d).$$
Значит, выражение $$ad+bc+ac+bd$$ делится на $$a+b$$.
в) Если $$ad+bc$$ делится на $$a+b$$, докажем, что и $$ac+bd$$ делится на $$a+b$$.
Преобразуем:
$$ ac+bd=(ac+bc)+(bd+ad)-(ad+bc)=(a+b)(c+d)-(ad+bc). $$
Так как $$ad+bc$$ делится на $$a+b$$, то и разность $$ (a+b)(c+d)-(ad+bc) $$ делится на $$a+b$$. Следовательно, $$ac+bd$$ делится на $$a+b$$.
г) Если $$ad+bc$$ не делится на $$a+b$$, докажем, что и $$ac+bd$$ не делится на $$a+b$$.
Предположим противное: пусть $$ac+bd$$ делится на $$a+b$$. Тогда по пункту в) из делимости $$ac+bd$$ на $$a+b$$ следует делимость $$ad+bc$$ на $$a+b$$. Получаем противоречие с условием.
Значит, $$ac+bd$$ не делится на $$a+b$$.