Упр.1.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.8. а Разность квадратов любых натуральных различных чисел делится на их сумму и на их разность; б) разность любых натуральных различных чисел является делителем разности их кубов.

а) Пусть $$x,y \in \mathbb{N}$$ и $$x \ne y$$. Тогда

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y).$$

Следовательно,

$$\frac{x^2-y^2}{x-y}=x+y \in \mathbb{N},$$

и

$$\frac{x^2-y^2}{x+y}=x-y \in \mathbb{N}.$$

Значит, разность квадратов любых натуральных различных чисел делится и на их сумму, и на их разность.

б) Пусть $$x,y \in \mathbb{N}$$ и $$x \ne y$$. Тогда

$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2).$$

Следовательно,

$$\frac{x^3-y^3}{x-y}=x^2+xy+y^2 \in \mathbb{N}.$$

Значит, разность любых натуральных различных чисел является делителем разности их кубов.

Ответ

а) $$x^2-y^2$$ делится на $$x+y$$ и на $$x-y$$; б) $$x^3-y^3$$ делится на $$x-y$$.