Упр.1.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что: 1.7. а) Сумма двух четных чисел есть четное число; б) сумма двух нечетных чисел есть четное число; в) сумма четного и нечетного числа есть нечетное число; г) если X, у — произвольные натуральные числа, то xy(x + у) и xy(x — у) — четные числа.

Подробный ответ

Пусть $$n$$ и $$m$$ — чётные числа. Тогда
$$n=2q_1,\quad m=2q_2,\quad q_1,q_2\in N.$$
Следовательно,
$$n+m=2q_1+2q_2=2(q_1+q_2),$$
то есть сумма двух чётных чисел — чётное число.
Пусть $$n$$ и $$m$$ — нечётные числа. Тогда
$$n=2q_1+1,\quad m=2q_2+1,\quad q_1,q_2\in N.$$
Тогда
$$n+m=(2q_1+1)+(2q_2+1)=2(q_1+q_2+1),$$
значит, сумма двух нечётных чисел — чётное число.
Пусть одно число чётное, а другое нечётное:
$$n=2q_1,\quad m=2q_2+1,\quad q_1,q_2\in N.$$
Тогда
$$n+m=2q_1+(2q_2+1)=2(q_1+q_2)+1,$$
то есть сумма чётного и нечётного чисел — нечётное число.
Пусть $$x$$ и $$y$$ — произвольные натуральные числа.
1) Если оба числа чётные:
$$x=2q_1,\quad y=2q_2,\quad q_1,q_2\in N.$$
Тогда
$$xy(x+y)=2q_1\cdot 2q_2\cdot (2q_1+2q_2)=8q_1q_2(q_1+q_2),$$
значит, $$xy(x+y)$$ — чётное число. Аналогично
$$xy(x-y)=2q_1\cdot 2q_2\cdot (2q_1-2q_2)=8q_1q_2(q_1-q_2),$$
поэтому $$xy(x-y)$$ тоже чётное число.
2) Если одно число нечётное, а другое чётное:
$$x=2q_1+1,\quad y=2q_2,\quad q_1,q_2\in N.$$
Тогда
$$xy(x+y)=(2q_1+1)\cdot 2q_2\cdot (2q_1+2q_2+1),$$
а значит, это число делится на $$2$$. Аналогично
$$xy(x-y)=(2q_1+1)\cdot 2q_2\cdot (2q_1-2q_2+1),$$
следовательно, и оно чётное.
3) Если оба числа нечётные:
$$x=2q_1+1,\quad y=2q_2+1,\quad q_1,q_2\in N.$$
Тогда
$$xy(x+y)=(2q_1+1)(2q_2+1)\bigl(2q_1+2q_2+2\bigr),$$
а значит, $$xy(x+y)$$ — чётное число.
Кроме того,
$$xy(x-y)=(2q_1+1)(2q_2+1)\bigl(2q_1-2q_2\bigr),$$
поэтому $$xy(x-y)$$ также чётное число.