Упр.1.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите все пары целых чисел (x; у , удовлетворяющих уравнению: 1.56. а) 2у — x = 15; в) 7x + 4у = 123; б) 6x — у = 25; г) 5х -7y = 23.
а) $$2y-x=15$$
Выразим $$y$$:
$$y=\frac{15+x}{2}$$
Так как $$x$$ и $$y$$ — целые числа, то $$15+x$$ должно быть чётным, значит $$x$$ — нечётное. Пусть $$x=2k+1$$, тогда
$$y=\frac{15+2k+1}{2}=8+k.$$
Получаем:
$$\left(2k+1;\,8+k\right).$$
б) $$6x-y=25$$
Выразим $$x$$:
$$x=\frac{25+y}{6}$$
Чтобы $$x$$ был целым, число $$25+y$$ должно делиться на $$6$$. Пусть $$y=6k-1$$, тогда
$$x=\frac{25+6k-1}{6}=4+k.$$
Получаем:
$$\left(4+k;\,6k-1\right).$$
в) $$7x+4y=123$$
Выразим $$y$$:
$$4y=123-7x$$
Чтобы $$y$$ был целым, число $$123-7x$$ должно делиться на $$4$$. Так как $$123\equiv 3 \pmod 4$$ и $$7\equiv 3 \pmod 4$$, получаем
$$3-3x\equiv 0 \pmod 4,$$
значит $$x\equiv 1 \pmod 4$$. Пусть $$x=17-4k$$, тогда
$$y=\frac{123-7(17-4k)}{4}=\frac{123-119+28k}{4}=1+7k.$$
Получаем:
$$\left(17-4k;\,1+7k\right).$$
г) $$5x-7y=23$$
Выразим $$x$$:
$$5x=23+7y$$
Чтобы $$x$$ был целым, число $$23+7y$$ должно делиться на $$5$$. Так как $$23\equiv 3 \pmod 5$$ и $$7\equiv 2 \pmod 5$$, имеем
$$3+2y\equiv 0 \pmod 5,$$
откуда $$y\equiv 1 \pmod 5$$. Пусть $$y=5k-1$$, тогда
$$x=\frac{23+7(5k-1)}{5}=\frac{23+35k-7}{5}=7k+3.$$
Проверим удобнее через исходное уравнение:
$$5(7k+6)-7(5k-1)=35k+30-35k+7=37,$$
это не подходит, значит нужно взять правильную параметризацию. Пусть $$x=7k+6$$, тогда
$$y=\frac{5x-23}{7}=\frac{35k+30-23}{7}=5k+1.$$
Получаем:
$$\left(7k+6;\,5k+1\right).$$
Ответ
а) $$\left(2k+1;\,8+k\right)$$; б) $$\left(4+k;\,6k-1\right)$$; в) $$\left(17-4k;\,1+7k\right)$$; г) $$\left(7k+6;\,5k+1\right)$$, где $$k\in \mathbb{Z}$$.
