Упр.1.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: He пользуясь калькулятором, определите, является ли данное число квадратом или кубом некоторого натурального числа: а) 75 625; б) 614 656; в) 31 104; г) 45 212 176.

Разложим каждое число на простые множители. Число является квадратом тогда и только тогда, когда в разложении все показатели степеней чётные. Число является кубом тогда и только тогда, когда все показатели степеней кратны $3$.

1. $$75\,625=5^4\cdot 11^2.$$

   Все показатели чётные, значит, это квадрат натурального числа. Но показатели не кратны $3$, значит, кубом число не является.

2. $$614\,656=2^8\cdot 7^4.$$

   Все показатели чётные, значит, это квадрат натурального числа. Но показатели не кратны $3$, значит, кубом число не является.

3. $$31\,104=2^7\cdot 3^5.$$

   Показатели степеней нечётные, значит, квадратом число не является. Показатели не кратны $3$, значит, кубом число не является.

4. $$216\,000=2^6\cdot 3^3\cdot 5^3.$$

   Показатели степеней не все чётные, значит, квадратом число не является. Все показатели кратны $3$, значит, это куб натурального числа.

Ответ

а) квадрат — да, куб — нет; б) квадрат — да, куб — нет; в) квадрат — нет, куб — нет; г) квадрат — нет, куб — да.