Упр.1.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.38. Сколькими нулями оканчивается число: а) 10!; б) 20!; в) 40!; г) 100!?

Количество нулей в конце числа равно числу пар множителей $$2$$ и $$5$$ в его разложении. Так как множителей $$2$$ всегда больше, достаточно посчитать, сколько раз в произведение $$n!$$ входит число $$5$$:

$$N=\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor+\cdots$$

а) Для $$10!$$:

$$N=\left\lfloor \frac{10}{5} \right\rfloor=2$$

б) Для $$20!$$:

$$N=\left\lfloor \frac{20}{5} \right\rfloor=4$$

в) Для $$40!$$:

$$N=\left\lfloor \frac{40}{5} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{40}{25} \right\rfloor=8+1=9$$

г) Для $$100!$$:

$$N=\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor=20+4=24$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$4$$; в) $$9$$; г) $$24$$.