Упр.1.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.37. C каким показателем входит число 5 в разложение на простые множители числа: а) 10!; б) 20!; в) 40!; г) 100!?

Показатель степени числа $$5$$ в разложении числа $$n!$$ на простые множители находим по формуле:

$$ \nu_5(n!)=\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor+\cdots $$

Складываем только целые части деления.

а) Для $$10!$$:

$$ \nu_5(10!)=\left\lfloor \frac{10}{5} \right\rfloor=2 $$

б) Для $$20!$$:

$$ \nu_5(20!)=\left\lfloor \frac{20}{5} \right\rfloor=4 $$

в) Для $$40!$$:

$$ \nu_5(40!)=\left\lfloor \frac{40}{5} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{40}{25} \right\rfloor=8+1=9 $$

г) Для $$100!$$:

$$ \nu_5(100!)=\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor=20+4=24 $$

Ответ

а) $$2$$; б) $$4$$; в) $$9$$; г) $$24$$.