Упр.1.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.36. Полагают, по определению, что n! = 1 • 2 • 3 4)… • (n — 1) • п\ (символ п\ читают п-факториал , а 1! = 1. C каким показателем входит число 2 в разложение на простые множители числа: а) 10!; б) 20!; в) 40!; г) 100!?

Показатель степени числа $$2$$ в разложении числа $$n!$$ на простые множители находим по формуле

$$k=\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{4}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{8}\right\rfloor+\cdots,$$

где учитываются только целые части частных.

1. Для $$10!$$:

   $$k=\left\lfloor \frac{10}{2}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{10}{4}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{10}{8}\right\rfloor=5+2+1=8.$$

2. Для $$20!$$:

   $$k=\left\lfloor \frac{20}{2}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{20}{4}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{20}{8}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{20}{16}\right\rfloor=10+5+2+1=18.$$

3. Для $$40!$$:

   $$k=\left\lfloor \frac{40}{2}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{40}{4}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{40}{8}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{40}{16}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{40}{32}\right\rfloor=20+10+5+2+1=38.$$

4. Для $$100!$$:

   $$k=\left\lfloor \frac{100}{2}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{100}{4}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{100}{8}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{100}{16}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{100}{32}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{100}{64}\right\rfloor=50+25+12+6+3+1=97.$$

Ответ

а) $$8$$; б) $$18$$; в) $$38$$; г) $$97$$.