Упр.1.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите утверждение: O1.5. а) Если каждое из натуральных чисел n и m делится на натуральное число p, то (n + m) i p и (n — m) : р.* б) Если каждое из натуральных чисел n и m делится на натуральное число ру а Xt у — произвольные натуральные числа, то (nx ± ту) : р. в) Если натуральное число n делится на натуральное число p, а натуральное m не делится на p, то ни сумма n + m, ни разность n — m не делятся на р. г) Если сумма натуральных чисел и каждое ее слагаемое, кроме последнего, делятся на некоторое натуральное число p, то и это последнее слагаемое делится на р.

Подробный ответ

Пусть $$n : p$$ и $$m : p$$. Тогда существуют натуральные числа $$q_1$$ и $$q_2$$ такие, что
$$n=pq_1,\quad m=pq_2.$$
Тогда
$$ \frac{n+m}{p}=\frac{pq_1+pq_2}{p}=q_1+q_2 \in \mathbb{N}, $$
значит, $$n+m : p$$.
Аналогично
$$ \frac{n-m}{p}=\frac{pq_1-pq_2}{p}=q_1-q_2. $$
Следовательно, $$n-m : p$$, если $$q_1-q_2 \in \mathbb{N}$$; в общем случае для утверждения о делимости разности достаточно записать, что разность двух чисел, кратных $$p$$, тоже кратна $$p$$:
$$n-m=p(q_1-q_2).$$
Пусть $$n : p$$ и $$m : p$$, а $$x,y \in \mathbb{N}$$. Тогда
$$n=pq_1,\quad m=pq_2.$$
Следовательно,
$$ nx \pm my = pq_1x \pm pq_2y = p(q_1x \pm q_2y), $$
значит, $$nx \pm my : p$$.
Пусть $$n : p$$, а $$m \not: p$$. Докажем, что ни $$n+m$$, ни $$n-m$$ не делятся на $$p$$.
Предположим противное: $$n+m : p$$. Тогда существуют натуральные $$q_1, q_2$$ такие, что
$$n=pq_1,\quad n+m=pq_2.$$
Тогда
$$m=pq_2-pq_1=p(q_2-q_1),$$
то есть $$m : p$$ — противоречие.
Аналогично, если бы $$n-m : p$$, то
$$n-m=pq_2,\quad n=pq_1,$$
и тогда
$$m=n-pq_2=pq_1-pq_2=p(q_1-q_2),$$
то есть снова $$m : p$$, что невозможно.
Значит, ни $$n+m$$, ни $$n-m$$ не делятся на $$p$$.
Пусть $$a_1,\dots,a_n : p$$ и $$a_1+\dots+a_n+m : p$$. Тогда существуют натуральные числа $$q_1,\dots,q_n,q$$ такие, что
$$a_1=pq_1,\ \dots,\ a_n=pq_n,\quad a_1+\dots+a_n+m=pq.$$
Тогда
$$ m=pq-pq_1-\dots-pq_n=p\bigl(q-q_1-\dots-q_n\bigr), $$
следовательно, $$m : p$$.