Упр.1.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что: а) остаток от деления натурального числа на 4 равен остатку от деления на 4 числа, образованного его двумя последними цифрами; б) остаток от деления натурального числа на 25 равен остатку от деления на 25 числа, образованного его двумя последними цифрами.

Пусть число $$n$$ оканчивается двумя цифрами, образующими число $$p$$. Тогда можно записать

$$n=100q+p,$$

где $$q$$ — некоторое натуральное число, а $$p$$ — число, составленное из двух последних цифр числа $$n$$.

а) Делим на $$4$$:

$$ n=100q+p $$

Так как $$100$$ делится на $$4$$, то

$$ 100q \text{ делится на } 4, $$

следовательно, остаток от деления $$n$$ на $$4$$ определяется только числом $$p$$. Значит, остаток от деления $$n$$ на $$4$$ равен остатку от деления $$p$$ на $$4$$.

б) Делим на $$25$$:

$$ n=100q+p $$

Так как $$100$$ делится на $$25$$, то

$$ 100q \text{ делится на } 25, $$

следовательно, остаток от деления $$n$$ на $$25$$ равен остатку от деления $$p$$ на $$25$$.

Итак, в обоих случаях остаток от деления числа не зависит от всех цифр, кроме двух последних.

Ответ

а) Остаток от деления числа на $$4$$ равен остатку от деления на $$4$$ числа, образованного его двумя последними цифрами.
б) Остаток от деления числа на $$25$$ равен остатку от деления на $$25$$ числа, образованного его двумя последними цифрами.