Упр.1.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что: а) остаток от деления натурального числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2; б) остаток от деления натурального числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5.

Любое натуральное число можно записать в виде

$$n=10q+p,$$

где $$q$$ — натуральное число, а $$p$$ — последняя цифра числа $$n$$, то есть $$p\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.$$

а) Рассмотрим деление на $$2$$:

$$n=10q+p=2\cdot 5q+p.$$

Число $$10q$$ делится на $$2$$ без остатка, значит остаток от деления $$n$$ на $$2$$ определяется только последней цифрой $$p$$. Следовательно, остаток от деления числа $$n$$ на $$2$$ равен остатку от деления его последней цифры на $$2$$.

б) Рассмотрим деление на $$5$$:

$$n=10q+p=5\cdot 2q+p.$$

Число $$10q$$ делится на $$5$$ без остатка, значит остаток от деления $$n$$ на $$5$$ определяется только последней цифрой $$p$$. Следовательно, остаток от деления числа $$n$$ на $$5$$ равен остатку от деления его последней цифры на $$5$$.

Ответ

а) Остаток от деления натурального числа на $$2$$ равен остатку от деления его последней цифры на $$2$$.
б) Остаток от деления натурального числа на $$5$$ равен остатку от деления его последней цифры на $$5$$.