Упр.1.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Число x при делении на 8 дает остаток 5. Чему может быть равен остаток от деления числа x: а) на 2; б) на 3; в) на 4; г) на 6?

Если число $$x$$ при делении на $$8$$ даёт остаток $$5$$, то его можно записать так:

$$x=8k+5,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

1. При делении на $$2$$:

   $$x=8k+5=2\cdot 4k+4+1,$$

   значит, остаток всегда равен $$1$$.

2. При делении на $$3$$:

   $$x=8k+5=3\cdot 2k+2k+5.$$

   Проверим возможные остатки по модулю $$3$$:

   $$5\equiv 2 \pmod 3,$$

   а так как $$8\equiv 2 \pmod 3,$$ то при разных значениях $$k$$ возможны остатки $$0,1,2$$.

3. При делении на $$4$$:

   $$x=8k+5=4\cdot 2k+4+1,$$

   значит, остаток всегда равен $$1$$.

4. При делении на $$6$$:

   $$x=8k+5.$$

   Проверим остатки:

   $$5\equiv 5 \pmod 6,$$

   $$13\equiv 1 \pmod 6,$$

   $$21\equiv 3 \pmod 6,$$

   $$29\equiv 5 \pmod 6.$$

   Значит, возможны остатки $$1,3,5$$.

Ответ

а) $$1$$; б) $$0,1,2$$; в) $$1$$; г) $$1,3,5$$.