Упр.1.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите все простые числа p и q такие, что: а) 5p + 17q = 140; б) 7p + 3q = 86.

а) $$5p+17q=140.$$

Так как $$p$$ и $$q$$ — простые числа, то $$q$$ должно быть таким, чтобы число $$140-17q$$ делилось на $$5$$.

Из уравнения получаем:

$$5p=140-17q,$$

значит, $$140-17q$$ кратно $$5$$. Так как $$140$$ кратно $$5$$, то и $$17q$$ кратно $$5$$, а значит, $$q$$ кратно $$5$$.

Единственное простое число, кратное $$5$$, — это $$5$$. Тогда

$$5p=140-17\cdot 5=140-85=55,$$

$$p=11.$$

Проверка: $$5\cdot 11+17\cdot 5=55+85=140.$$

б) $$7p+3q=86.$$

Выразим $$p$$:

$$7p=86-3q,$$

значит, $$86-3q$$ кратно $$7$$. Так как $$86\equiv 2 \pmod 7$$, то

$$2-3q\equiv 0 \pmod 7,$$

то есть

$$3q\equiv 2 \pmod 7.$$

Проверим простые значения $$q$$, при которых $$86-3q>0$$: $$q=2,3,5,7,11,13,\dots$$

Подходит $$q=3$$, тогда

$$7p=86-3\cdot 3=86-9=77,$$

$$p=11.$$

Подходит также $$q=17$$, тогда

$$7p=86-3\cdot 17=86-51=35,$$

$$p=5.$$

Оба набора чисел являются простыми и удовлетворяют уравнению.

Ответ

а) $$p=11,\ q=5.$$

б) $$p=11,\ q=3$$ или $$p=5,\ q=17.$$