Упр.1.4(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.4. Может ли произведение 101 идущих подряд натуральных чисел не делиться: а) на 51; б) на 101; в) на 606; г) на 4386?

Пусть произведение 101 идущего подряд натурального числа имеет вид

$$n(n+1)(n+2)\cdots(n+100).$$

Среди любых 101 подряд идущих натуральных чисел обязательно найдутся числа, делящиеся на $$2,$$ $$3,$$ $$5,$$ $$7,$$ а также на $$13.$$

Значит, произведение 101 подряд идущих натуральных чисел делится на

$$2\cdot 3\cdot 13=78,$$

а также на

$$2\cdot 3\cdot 7\cdot 13=546,$$

и на

$$2\cdot 3\cdot 7\cdot 13\cdot 17=9282.$$

Теперь проверим числа из задания:

• $$51=3\cdot 17.$$ Число $$17$$ среди множителей может не встретиться, поэтому произведение может не делиться на $$51.$$
• $$101$$ — простое число. Среди 101 подряд идущих чисел одно из них обязательно делится на $$101,$$ значит произведение не может не делиться на $$101.$$
• $$606=2\cdot 3\cdot 101.$$ Так как произведение делится на $$101,$$ то оно делится и на $$606.$$ Следовательно, не может не делиться на $$606.$$
• $$4386=2\cdot 3\cdot 17\cdot 43.$$ Среди 101 подряд идущих чисел обязательно есть число, делящееся на $$43,$$ а также на $$17,$$ поэтому произведение делится на $$4386.$$ Значит, не может не делиться на $$4386.$$

Ответ

а) может; б) не может; в) не может; г) не может.