Упр.1.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите простые числа p и q, если известно, что корни уравнения x2 — px + q = 0 — натуральные числа.

Пусть корни уравнения $$x^2-px+q=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=p,$$

$$x_1x_2=q.$$

Так как $$p$$ и $$q$$ — простые числа, а корни — натуральные, то произведение двух натуральных чисел равно простому числу только в случае, когда одно из них равно $$1$$, а другое — самому простому числу. Значит,

$$\{x_1,x_2\}=\{1,p\}.$$

Тогда

$$q=x_1+x_2=1+p.$$

Число $$q$$ тоже простое. Из пары соседних чисел $$p$$ и $$p+1$$ простым может быть только одно, поэтому проверяем простое $$p=2$$:

$$q=2+1=3.$$

Проверка:

$$x^2-2x+3=0$$

не имеет натуральных корней, значит этот вариант не подходит.

Если же корни равны $$1$$ и $$2$$, то по Виету получаем:

$$p=1+2=3,$$

$$q=1\cdot 2=2.$$

Проверка:

$$x^2-3x+2=0$$

$$ (x-1)(x-2)=0,$$

корни $$1$$ и $$2$$ — натуральные числа.

Ответ

$$p=3,\ q=2.$$