Упр.1.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что среди данных последовательных натуральных чисел нет ни одного простого числа: а) 23! + 2, 23! + 3; 23! + 4,)… , 23! + 23; б) 101! + 2, 101! + 3; 101! + 4,)…, 101! + 101. в) Сколько составных чисел в каждой серии а) и б ? г) Выпишите 1 000 000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого.

Подробный ответ

а) Рассмотрим числа $$23!+2,\ 23!+3,\ 23!+4,\ \ldots,\ 23!+23.$$

Так как $$23!=2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots \cdot 23,$$ то для любого $$k$$ от $$2$$ до $$23$$ число $$23!$$ делится на $$k$$. Значит, и число $$23!+k$$ делится на $$k$$:

$$23!+k=k\left(\frac{23!}{k}+1\right).$$

При этом $$\frac{23!}{k}+1>1$$, поэтому каждое из этих чисел составное.

Их количество:

$$23-2+1=22.$$

б) Рассмотрим числа $$101!+2,\ 101!+3,\ 101!+4,\ \ldots,\ 101!+101.$$

Аналогично, так как $$101!=2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots \cdot 101,$$ то для любого $$k$$ от $$2$$ до $$101$$ число $$101!$$ делится на $$k$$, значит, число $$101!+k$$ тоже делится на $$k$$:

$$101!+k=k\left(\frac{101!}{k}+1\right).$$

Следовательно, все эти числа составные.

Их количество:

$$101-2+1=100.$$

г) Чтобы получить $$1\,000\,000$$ последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого, возьмём числа

$$1\,000\,001!+2,\ 1\,000\,001!+3,\ 1\,000\,001!+4,\ \ldots,\ 1\,000\,001!+1\,000\,001.$$

Для каждого $$k=2,3,\ldots,1\,000\,001$$ число $$1\,000\,001!+k$$ делится на $$k$$, значит, оно составное. Таких чисел ровно

$$1\,000\,001-2+1=1\,000\,000.$$