Упр.1.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.32. Докажите, что: а) наименьший отличный от 1 делитель натурального числа л, большего 1, есть простое число; б) наименьший отличный от 1 делитель составного числа n не больше 4n; в) если p, < р2 < )... < рп — простые числа, то число P1 р2... рп + 1 является либо простым числом, либо делится на простое число p, большее, чем рп; г) простых чисел бесконечно много.
а) Пусть $$a$$ — наименьший отличный от $$1$$ делитель натурального числа $$n>1$$.
Предположим, что $$a$$ — составное число. Тогда у него есть делитель $$a_1$$, отличный от $$1$$ и меньший, чем $$a$$. Но тогда $$a_1$$ тоже делит $$n$$, что противоречит минимальности числа $$a$$. Значит, $$a$$ — простое число.
б) Пусть $$a$$ — наименьший отличный от $$1$$ делитель составного числа $$n$$.
Тогда $$n=a\cdot p$$, где $$p\in \mathbb{N}$$ и $$p\ge a$$, так как $$a$$ — наименьший делитель числа $$n$$.
Предположим, что $$a>\sqrt{n}$$. Тогда и $$p\ge a>\sqrt{n}$$, значит
$$ a\cdot p>\sqrt{n}\cdot \sqrt{n}=n, $$
что невозможно, так как $$a\cdot p=n$$. Следовательно, $$a\le \sqrt{n}$$.
в) Рассмотрим число
$$A=p_1p_2\cdots p_n+1.$$
Оно не делится ни на одно из чисел $$p_1,p_2,\ldots,p_n$$, потому что при делении на любое из них даёт остаток $$1$$.
Значит, либо $$A$$ — простое число, либо у него есть простой делитель $$p$$, не совпадающий ни с одним из чисел $$p_1,\ldots,p_n$$. Следовательно, $$p>p_n$$.
г) Докажем, что простых чисел бесконечно много.
Предположим противное: простых чисел конечное число, и все они перечислены как $$p_1,p_2,\ldots,p_n$$. Рассмотрим число
$$ A=p_1p_2\cdots p_n+1. $$
По пункту в) число $$A$$ либо простое, либо делится на простое число, не входящее в список $$p_1,p_2,\ldots,p_n$$. Это противоречит предположению, что все простые числа уже перечислены.
Следовательно, простых чисел бесконечно много.
Ответ
а) Наименьший отличный от $$1$$ делитель натурального числа $$n>1$$ — простое число; б) $$a\le \sqrt{n}$$; в) число $$p_1p_2\cdots p_n+1$$ либо простое, либо делится на простое число, большее $$p_n$$; г) простых чисел бесконечно много.
