Упр.1.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Рассмотрите два предложения: а) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 3; б) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 5 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 5. Докажите, что из этих утверждений верно только одно.

Подробный ответ

Докажем каждое из утверждений.

а) Если $$m:3$$ и $$n:3,$$ то $$m=3k,$$ $$n=3l,$$ где $$k,l \in \mathbb{N}.$$ Тогда

$$m^2+n^2=(3k)^2+(3l)^2=9k^2+9l^2=9(k^2+l^2),$$

значит, $$m^2+n^2:3.$$

Докажем обратное. Пусть $$m^2+n^2:3.$$ Если число не делится на 3, то при делении на 3 оно даёт остаток 1 или 2. Тогда его квадрат даёт остаток 1:

$$1^2 \equiv 1 \pmod 3,\qquad 2^2 \equiv 1 \pmod 3.$$

Следовательно, если хотя бы одно из чисел $$m$$ или $$n$$ не делится на 3, то сумма $$m^2+n^2$$ при делении на 3 даёт остаток 1 или 2, но не 0. Значит, оба числа должны делиться на 3.

Итак, утверждение а) верно.

б) Прямая часть также верна: если $$m:5$$ и $$n:5,$$ то

$$m=5k,\qquad n=5l,$$

и тогда

$$m^2+n^2=(5k)^2+(5l)^2=25(k^2+l^2),$$

то есть $$m^2+n^2:5.$$

Но обратное утверждение неверно. Например, возьмём $$m=1$$ и $$n=2.$$ Тогда

$$m^2+n^2=1^2+2^2=1+4=5,$$

а число $$5$$ делится на $$5,$$ хотя ни $$1,$$ ни $$2$$ на $$5$$ не делятся.

Следовательно, утверждение б) неверно.