Упр.1.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: B числе 735 _ 4 заполните пропуск такой цифрой, чтобы: а) число при делении на 3 давало в остатке 2; б) число при делении на 4 давало в остатке 2.

Подробный ответ

а) Чтобы число $$735×4$$ при делении на $$3$$ давало остаток $$2$$, сумма его цифр должна давать при делении на $$3$$ остаток $$2$$.

Составим сумму цифр:

$$7+3+5+x+4=19+x.$$

Требуется:

$$19+x \equiv 2 \pmod{3}.$$

Так как $$19 \equiv 1 \pmod{3}$$, получаем:

$$1+x \equiv 2 \pmod{3},$$

$$x \equiv 1 \pmod{3}.$$

Подходящие цифры:

$$x=1,\ 4,\ 7.$$

Значит, подходят числа $$73514,\ 73544,\ 73574.$$

б) Чтобы число $$735×4$$ при делении на $$4$$ давало остаток $$2$$, последние две цифры должны образовывать число, которое при делении на $$4$$ даёт остаток $$2$$.

Последние две цифры — это число $$x4$$, то есть:

$$10x+4 \equiv 2 \pmod{4}.$$

Так как $$10x+4 \equiv 2x \pmod{4},$$ получаем:

$$2x \equiv 2 \pmod{4}.$$

Отсюда $$x$$ — нечётная цифра:

$$x=1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9.$$

Значит, подходят числа $$73514,\ 73534,\ 73554,\ 73574,\ 73594.$$