Упр.1.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: O1.3. Найдите какие-нибудь 36 идущих подряд трехзначных чисел, среди которых нет ни одного кратного 37. Какое наименьшее и какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих 36 трехзначных чисел?

Подробный ответ

Кратные числу $$37$$ образуют арифметическую прогрессию:

$$a_n=37n.$$

Найдём наименьшее трёхзначное кратное $$37$$:

$$37n>99,$$

откуда $$n>\frac{99}{37}$$, значит $$n=3$$ и

$$37\cdot 3=111.$$

Следующее кратное:

$$111+37=148.$$

Значит, среди чисел $$112,113,\dots,147$$ нет ни одного кратного $$37$$. Это как раз $$36$$ подряд идущих трёхзначных чисел, а наименьшее из них равно $$112$$.

Теперь найдём наибольшее возможное значение наименьшего числа в такой последовательности. Наибольшее трёхзначное кратное $$37$$:

$$37n<1000,$$

откуда $$n<\frac{1000}{37}$$, значит $$n=27$$ и

$$37\cdot 27=999.$$

Предыдущее число:

$$999-37=962.$$

Следовательно, числа $$963,964,\dots,998$$ — это $$36$$ подряд идущих трёхзначных чисел без кратных $$37$$, и наименьшее из них равно $$963$$.