Упр.1.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что: а) произведение двух идущих подряд натуральных чисел делится на 2; б) произведение трех идущих подряд натуральных чисел делится на 3 и на 6; в) произведение четырех идущих подряд натуральных чисел делится на 4, на 12 и на 24; г) произведение пяти идущих подряд натуральных чисел делится на 5, на 20 и на 120.

Подробный ответ

Обозначим первое из данных подряд идущих натуральных чисел через $$n$$.

а) Среди двух подряд идущих натуральных чисел одно обязательно чётное, значит их произведение делится на $$2$$:

$$n(n+1):2 \in \mathbb{N}.$$

б) Среди трёх подряд идущих натуральных чисел одно делится на $$3$$, а одно из двух соседних — на $$2$$. Поэтому произведение делится на $$3$$ и на $$6$$:

$$n(n+1)(n+2):3 \in \mathbb{N},$$

$$n(n+1)(n+2):6 \in \mathbb{N}.$$

в) Среди четырёх подряд идущих натуральных чисел одно делится на $$4$$, одно — на $$3$$, и ещё два числа чётные. Следовательно, произведение делится на $$4$$, на $$12$$ и на $$24$$:

$$n(n+1)(n+2)(n+3):4 \in \mathbb{N},$$

$$n(n+1)(n+2)(n+3):12 \in \mathbb{N},$$

$$n(n+1)(n+2)(n+3):24 \in \mathbb{N}.$$

г) Среди пяти подряд идущих натуральных чисел есть число, кратное $$5$$, число, кратное $$4$$, число, кратное $$3$$, и как минимум два чётных числа. Значит, произведение делится на $$5$$, на $$20$$ и на $$120$$:

$$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4):5 \in \mathbb{N},$$

$$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4):20 \in \mathbb{N},$$

$$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4):120 \in \mathbb{N}.$$