Упр.1.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.25. а) Докажите, что если при некотором натуральном значении n число n3 — n делится на 6, то и число (n + 1 3 — (n + 1) ткже делится на 6. Проверьте наличие делимости для n = 1) и подумайте, для каких еще значений n имеет место делимость. б) Докажите, что если при некотором натуральном значении n число n3 + 5n делится на 6, то и число (n + 1 3 + + 5(n + 1) также делится на 6. Проверьте наличие делимости для n = 1 и подумайте, для каких еще значений n имеет место делимость. в) Докажите, что если при некотором натуральном значении n число 7n + 3n — 1 делится на 9, то и число 7n + 1 + 3(n + 1) — 1 также делится на 9. Проверьте наличие делимости для n = 1 и подумайте, для каких еще значений n имеет место делимость. г) Докажите, что если при некотором натуральном значении n число 32n+2 — 8n — 9 делится на 64, то и число 32n+4 — 8(n + 1) — 9 также делится на 64. Проверьте наличие делимости для n = 1 и подумайте, для каких еще значений n имеет место делимость.
$$ (n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-n-1=(n^3-n)+3n(n+1). $$
Если $$n^3-n$$ делится на $$6$$, то и $$3n(n+1)$$ делится на $$6$$, так как среди двух последовательных чисел $$n$$ и $$n+1$$ одно чётное, значит $$n(n+1)$$ делится на $$2$$. Тогда сумма тоже делится на $$6$$.
Следовательно, $$ (n+1)^3-(n+1) $$ делится на $$6$$.
При $$n=1$$: $$1^3-1=0$$, делится на $$6$$.
Вообще $$n^3-n=n(n-1)(n+1)$$ — произведение трёх последовательных чисел, поэтому оно делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.
$$ (n+1)^3+5(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+5n+5=(n^3+5n)+3n(n+1)+6. $$
Если $$n^3+5n$$ делится на $$6$$, то и $$3n(n+1)+6$$ делится на $$6$$, потому что $$n(n+1)$$ чётно. Значит, и $$ (n+1)^3+5(n+1) $$ делится на $$6$$.
При $$n=1$$: $$1^3+5\cdot1=6$$, делится на $$6$$.
Вообще $$n^3+5n=n(n^2+5)$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.
Обозначим $$a_n=7^n+3n-1$$. Тогда
$$ a_{n+1}=7^{n+1}+3(n+1)-1=7\cdot 7^n+3n+2. $$
Вычтем $$a_n$$:
$$ a_{n+1}-a_n=6\cdot 7^n+3=3(2\cdot 7^n+1). $$
Если $$a_n$$ делится на $$9$$, то достаточно показать, что $$3(2\cdot 7^n+1)$$ тоже делится на $$9$$. Для этого проверим делимость $$2\cdot 7^n+1$$ на $$3$$.
Так как $$7\equiv 1 \pmod 3$$, то $$7^n\equiv 1 \pmod 3$$, значит
$$ 2\cdot 7^n+1\equiv 2\cdot 1+1=3\equiv 0 \pmod 3. $$
Следовательно, $$2\cdot 7^n+1$$ делится на $$3$$, а значит $$3(2\cdot 7^n+1)$$ делится на $$9$$. Поэтому из делимости $$a_n$$ на $$9$$ следует делимость $$a_{n+1}$$ на $$9$$.
При $$n=1$$: $$7^1+3\cdot1-1=9$$, делится на $$9$$.
Вообще $$7^n+3n-1$$ делится на $$9$$ при любом натуральном $$n$$.
Обозначим $$b_n=3^{2n+2}-8n-9$$. Тогда
$$ b_{n+1}=3^{2n+4}-8(n+1)-9=9\cdot 3^{2n+2}-8n-17. $$
Вычтем $$b_n$$:
$$ b_{n+1}-b_n=8\cdot 3^{2n+2}-8=8(3^{2n+2}-1). $$
Если $$b_n$$ делится на $$64$$, то достаточно показать, что $$8(3^{2n+2}-1)$$ делится на $$64$$, то есть что $$3^{2n+2}-1$$ делится на $$8$$.
Так как $$3^2=9\equiv 1 \pmod 8$$, то
$$ 3^{2n+2}=(3^2)^{n+1}\equiv 1^{n+1}=1 \pmod 8. $$
Значит, $$3^{2n+2}-1$$ делится на $$8$$, а потому $$b_{n+1}-b_n$$ делится на $$64$$. Следовательно, из делимости $$b_n$$ на $$64$$ следует делимость $$b_{n+1}$$ на $$64$$.
При $$n=1$$: $$3^{4}-8-9=64$$, делится на $$64$$.
Вообще $$3^{2n+2}-8n-9$$ делится на $$64$$ при любом натуральном $$n$$.
Ответ
Во всех пунктах делимость сохраняется при переходе от $$n$$ к $$n+1$$; при $$n=1$$ она выполняется. Более того, во всех четырёх случаях данное выражение делится на указанное число при любом натуральном $$n$$.
