Упр.1.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что произведение 1 • 2 • 3 •)… • 13 делится на (1 + 2 + 3 +)… + 13 , а произведение 1 • 2 • 3 •)… • 16 не делится на (1 + 2 + 3 +)… + 16).

Подробный ответ

а) Разобьём сумму на пары:

$$1+2+3+\dots+13=(1+13)+(2+12)+\dots+(6+8)+7.$$

Каждая пара даёт $$14$$, поэтому

$$1+2+3+\dots+13=14\cdot 6+7=7(2\cdot 6+1)=7\cdot 13.$$

Произведение $$1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot 13$$ содержит множители $$7$$ и $$13$$, значит, оно делится на $$7\cdot 13$$, то есть на сумму.

б) Аналогично, разобьём сумму на пары:

$$1+2+3+\dots+16=(1+16)+(2+15)+\dots+(8+9).$$

Каждая пара даёт $$17$$, значит

$$1+2+3+\dots+16=8\cdot 17.$$

Число $$17$$ простое, а произведение $$1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot 16$$ не содержит множителя $$17$$. Следовательно, оно не делится на $$1+2+3+\dots+16$$.