Упр.1.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Существуют ли такие натуральные числа n и k, что последняя цифра разности указанных двух степеней равна нулю:

Последняя цифра степени зависит только от последней цифры основания.

1. а) Рассмотрим последние цифры чисел $$627^n$$ и $$833^k$$.

   Для $$627^n$$ последняя цифра такая же, как у $$7^n$$:

   $$7^1=7,\quad 7^2=49,\quad 7^3=343,\quad 7^4=2401.$$

   Последние цифры повторяются с периодом 4: $$7, 9, 3, 1$$.

   Для $$833^k$$ последняя цифра такая же, как у $$3^k$$:

   $$3^1=3,\quad 3^2=9,\quad 3^3=27,\quad 3^4=81.$$

   Последние цифры повторяются с периодом 4: $$3, 9, 7, 1$$.

   Одинаковые последние цифры у этих степеней бывают, например, при

   $$n=2+4q,\quad k=2+4p$$

   или при

   $$n=4+4q,\quad k=4+4p,$$

   где $$p,q \in \mathbb{N}$$.

   Значит, такие натуральные числа $$n$$ и $$k$$ существуют.

2. б) Рассмотрим последние цифры чисел $$834^n$$ и $$626^k$$.

   Для $$834^n$$ последняя цифра такая же, как у $$4^n$$:

   $$4^1=4,\quad 4^2=16,\quad 4^3=64.$$

   Последние цифры повторяются: $$4, 6, 4, 6,\dots$$

   Для $$626^k$$ последняя цифра такая же, как у $$6^k$$:

   $$6^1=6,\quad 6^2=36.$$

   Последняя цифра всегда равна $$6$$.

   Одинаковые последние цифры получаются, например, при $$n=2+2q$$ и любом $$k \in \mathbb{N}$$.

   Следовательно, такие натуральные числа $$n$$ и $$k$$ существуют.

Ответ

а) существуют; б) существуют.