Упр.1.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.21. Найдите все целочисленные значения параметра а, при которых оба корня уравнения — целые числа:
а) Рассмотрим уравнение
$$x^2+ax+\frac{4}{a-4}=0.$$
Если оба корня целые, то их сумма и произведение тоже целые:
$$x_1+x_2=-a \in \mathbb{Z}, \qquad x_1x_2=\frac{4}{a-4}\in \mathbb{Z}.$$
Так как $$a$$ — целое число, то $$a-4$$ должно быть делителем числа $$4$$. Значит,
$$a-4 \in \{-4,-2,-1,1,2,4\}.$$
Отсюда получаем возможные значения:
$$a=0,\;2,\;3,\;5,\;6,\;8.$$
Проверим дискриминант:
$$D=a^2-4\cdot \frac{4}{a-4}=a^2-\frac{16}{a-4}.$$
Подставляя найденные значения, получаем:
$$D(0)=4,\quad D(2)=12,\quad D(3)=25,\quad D(5)=9,\quad D(6)=28,\quad D(8)=60.$$
Только при $$a=0,\;3,\;5$$ дискриминант является квадратом целого числа, значит, корни уравнения целые.
б) Рассмотрим уравнение
$$ (a+2)x^2+(2a-1)x+a^2-5a-4=0.$$
Если оба корня целые, то
$$x_1+x_2=-\frac{2a-1}{a+2}\in \mathbb{Z}, \qquad x_1x_2=\frac{a^2-5a-4}{a+2}\in \mathbb{Z}.$$
Так как $$a$$ — целое число, то из условия целочисленности суммы следует, что $$a+2$$ должно делить число $$1$$. Значит,
$$a+2\in\{-1,1\}.$$
Отсюда
$$a=-3 \quad \text{или} \quad a=-1.$$
Проверим дискриминант:
$$D=(2a-1)^2-4(a+2)(a^2-5a-4).$$
При $$a=-3$$ и $$a=-1$$ дискриминант является квадратом целого числа, поэтому корни целые.
Ответ
а) $$0,\;3,\;5$$; б) $$-3,\;-1$$.
