Упр.1.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.20. При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных натуральных корня:

а) Рассмотрим уравнение

$$ax^2-(2a^2+5)x+10a=0.$$

Чтобы уравнение имело два различных корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным:

$$D=(2a^2+5)^2-4\cdot a\cdot 10a=4a^4-20a^2+25=(2a^2-5)^2.$$

Тогда

$$D>0 \iff (2a^2-5)^2>0 \iff 2a^2-5\ne 0 \iff a\ne \pm\sqrt{\frac52}.$$

Корни уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{2a^2+5\pm(2a^2-5)}{2a}.$$

Отсюда

$$x_1=\frac{5}{a}, \qquad x_2=2a.$$

Оба корня должны быть натуральными. Значит, числа $$\frac{5}{a}$$ и $$2a$$ — натуральные, а также

$$\frac{5}{a}\cdot 2a=10.$$

Подбираем делители числа 5 так, чтобы оба корня были натуральными:

$$a=\frac12,\ 1,\ \frac52,\ 5.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$ax^2-(a^2+5)x+3a-5=0.$$

По теореме Виета, если корни натуральные, то

$$x_1+x_2=\frac{a^2+5}{a}=a+\frac{5}{a}\in \mathbb N,$$

$$x_1x_2=\frac{3a-5}{a}=3-\frac{5}{a}\in \mathbb N.$$

Из условия

$$3-\frac{5}{a}>0,$$

следует $$a>\frac53.$$

Так как $$3-\frac{5}{a}$$ — натуральное число, а $$\frac{5}{a}$$ должно быть целым, получаем $$a=5.$$

Проверим:

$$5x^2-(25+5)x+15-5=0,$$

$$5x^2-30x+10=0,$$

$$x^2-6x+2=0.$$

Дискриминант:

$$D=36-8=28,$$

он не является квадратом целого числа, значит натуральных корней нет.

Ответ

а) $$a=\frac12,\ 1,\ \frac52,\ 5.$$
б) таких значений $$a$$ нет.