Упр.1.2(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.2. Может ли из 101 идущих подряд натуральных чисел быть ровно одно делящееся: а) на 50; б) на 51; в) на 101; г) на 10001?

Подробный ответ

Пусть среди $$101$$ подряд идущего натурального числа ровно одно делится на данное число $$m$$. Тогда в любом отрезке из $$101$$ последовательных чисел должно встречаться ровно одно кратное $$m$$.

Если $$m \le 101$$, то кратные числа встречаются через каждые $$m$$ чисел, и в отрезке длины $$101$$ их будет не меньше двух, если $$m \le 50$$, и ровно одно возможно только при достаточно большом $$m$$.

Рассмотрим каждый случай.

а) $$m=50$$. Кратные $$50$$ числа идут через $$50$$. В любых $$101$$ подряд идущих натуральных числах обязательно найдутся как минимум два числа, делящиеся на $$50$$. Например, $$50$$ и $$100$$, или $$51,\dots,151$$ содержит $$100$$ и $$150$$. Значит, ровно одного быть не может.
б) $$m=51$$. Кратные $$51$$ числа идут через $$51$$. В отрезке из $$101$$ подряд идущего числа обязательно будут два кратных $$51$$, например $$51$$ и $$102$$. Значит, ровно одного быть не может.
в) $$m=101$$. Среди любых $$101$$ подряд идущих натуральных чисел ровно одно делится на $$101$$, так как каждое число даёт свой остаток при делении на $$101$$, а среди $$101$$ последовательных чисел все остатки $$0,1,2,\dots,100$$ встречаются ровно по одному разу.
г) $$m=10001$$. Так как $$10001 > 101$$, в отрезке из $$101$$ подряд идущего натурального числа может встретиться не более одного кратного $$10001$$. Такое возможно, например, среди чисел $$10001,10002,\dots,10101$$ кратным $$10001$$ является только число $$10001$$. Значит, ровно одно число, делящееся на $$10001$$, может быть.