Упр.1.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.19. Найдите все значения а, при которых x и у являются натуральными числами:

а) $$x=\frac{4}{a}+3,\qquad y=\frac{8}{a}+a.$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа, то $$\frac{4}{a}$$ и $$\frac{8}{a}$$ должны быть целыми. Значит, $$a$$ — натуральный делитель числа $$4$$.

Получаем:

$$a=1,\ 2,\ 4.$$

Проверка:

• при $$a=1$$: $$x=4+3=7,\ y=8+1=9$$;
• при $$a=2$$: $$x=2+3=5,\ y=4+2=6$$;
• при $$a=4$$: $$x=1+3=4,\ y=2+4=6$$.

Во всех случаях $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа.

б) $$x=\frac{3}{a}+3,\qquad y=\frac{9}{a}+2a.$$

Аналогично, $$\frac{3}{a}$$ и $$\frac{9}{a}$$ должны быть целыми, значит, $$a$$ — натуральный делитель числа $$3$$.

Получаем:

$$a=1,\ 3.$$

Проверка:

• при $$a=1$$: $$x=3+3=6,\ y=9+2=11$$;
• при $$a=3$$: $$x=1+3=4,\ y=3+6=9$$.

Оба значения подходят.

Ответ

а) $$1,\ 2,\ 4$$; б) $$1,\ 3$$.