Упр.1.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
Пусть $$b=a+\frac{2}{a}$$ — целое число. Тогда нужно проверить, будут ли целыми выражения:
- $$a^2+\frac{4}{a^2}$$;
- $$a^3+\frac{8}{a^3}$$.
а) Возведём $$b$$ в квадрат:
$$ b^2=\left(a+\frac{2}{a}\right)^2=a^2+2\cdot a\cdot \frac{2}{a}+\frac{4}{a^2}=a^2+\frac{4}{a^2}+4. $$
Отсюда
$$ a^2+\frac{4}{a^2}=b^2-4. $$
Так как $$b\in \mathbb{Z}$$, то $$b^2\in \mathbb{Z}$$, значит и $$b^2-4\in \mathbb{Z}$$. Следовательно, $$a^2+\frac{4}{a^2}$$ — целое число.
б) Возведём $$b$$ в куб:
$$ b^3=\left(a+\frac{2}{a}\right)^3 =a^3+3a^2\cdot \frac{2}{a}+3a\cdot \left(\frac{2}{a}\right)^2+\left(\frac{2}{a}\right)^3. $$
Упростим:
$$ b^3=a^3+6a+\frac{12}{a}+\frac{8}{a^3} =a^3+\frac{8}{a^3}+6\left(a+\frac{2}{a}\right). $$
Так как $$a+\frac{2}{a}=b$$, получаем:
$$ b^3=a^3+\frac{8}{a^3}+6b, $$
откуда
$$ a^3+\frac{8}{a^3}=b^3-6b. $$
Поскольку $$b\in \mathbb{Z}$$, то $$b^3\in \mathbb{Z}$$ и $$6b\in \mathbb{Z}$$, значит $$b^3-6b\in \mathbb{Z}$$. Следовательно, $$a^3+\frac{8}{a^3}$$ — целое число.
Ответ
а) да; б) да.
