Упр.1.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.16. Ha графике заданной функции найдите все точки, обе координаты которых — целые числа:

1. а) $$y=2+\frac{4}{x+3}$$

   Чтобы обе координаты точки были целыми, нужно, чтобы $$x+3$$ было делителем числа $$4$$.

   Делители числа $$4$$: $$1,\ 2,\ 4$$.

   Тогда:

   $$x+3=1 \Rightarrow x=-2,\quad y=2+\frac{4}{1}=6$$
   
   $$x+3=2 \Rightarrow x=-1,\quad y=2+\frac{4}{2}=4$$
   
   $$x+3=4 \Rightarrow x=1,\quad y=2+\frac{4}{4}=3$$

   Кроме того, при отрицательных делителях получаем ещё точки:

   $$x+3=-1 \Rightarrow x=-4,\quad y=2+\frac{4}{-1}=-2$$
   
   $$x+3=-2 \Rightarrow x=-5,\quad y=2+\frac{4}{-2}=0$$
   
   $$x+3=-4 \Rightarrow x=-7,\quad y=2+\frac{4}{-4}=1$$

   Итак, целочисленные точки графика:

   $$(-7;1),\ (-5;0),\ (-4;-2),\ (-2;6),\ (-1;4),\ (1;3).$$

2. б) $$y=\frac{5x+17}{x+7}=5-\frac{18}{x+7}$$

   Здесь $$x\neq -7$$. Чтобы обе координаты точки были целыми, число $$x+7$$ должно быть делителем числа $$18$$.

   Делители числа $$18$$: $$1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18$$.

   Рассмотрим положительные и отрицательные делители:

   $$x+7=1 \Rightarrow x=-6,\quad y=5-\frac{18}{1}=-13$$
   
   $$x+7=2 \Rightarrow x=-5,\quad y=5-\frac{18}{2}=-4$$
   
   $$x+7=3 \Rightarrow x=-4,\quad y=5-\frac{18}{3}=-1$$
   
   $$x+7=6 \Rightarrow x=-1,\quad y=5-\frac{18}{6}=2$$
   
   $$x+7=9 \Rightarrow x=2,\quad y=5-\frac{18}{9}=3$$
   
   $$x+7=18 \Rightarrow x=11,\quad y=5-\frac{18}{18}=4$$

   $$x+7=-1 \Rightarrow x=-8,\quad y=5-\frac{18}{-1}=23$$
   
   $$x+7=-2 \Rightarrow x=-9,\quad y=5-\frac{18}{-2}=14$$
   
   $$x+7=-3 \Rightarrow x=-10,\quad y=5-\frac{18}{-3}=11$$
   
   $$x+7=-6 \Rightarrow x=-13,\quad y=5-\frac{18}{-6}=8$$
   
   $$x+7=-9 \Rightarrow x=-16,\quad y=5-\frac{18}{-9}=7$$
   
   $$x+7=-18 \Rightarrow x=-25,\quad y=5-\frac{18}{-18}=6$$

   Следовательно, целочисленные точки графика:

   $$(-25;6),\ (-16;7),\ (-13;8),\ (-10;11),\ (-9;14),\ (-8;23),\ (-6;-13),\ (-5;-4),\ (-4;-1),\ (-1;2),\ (2;3),\ (11;4).$$

Ответ

а) $$(-7;1),\ (-5;0),\ (-4;-2),\ (-2;6),\ (-1;4),\ (1;3)$$

б) $$(-25;6),\ (-16;7),\ (-13;8),\ (-10;11),\ (-9;14),\ (-8;23),\ (-6;-13),\ (-5;-4),\ (-4;-1),\ (-1;2),\ (2;3),\ (11;4)$$