Упр.1.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.12. Докажите, что: а) 723 + 343 делится на 106; б) (I3 + 23 + 33 +)… + 1813 + 1823) делится на 183 в) 183 + 263 делится на 176; г) (23 + 33 +)… + 1963 + 1973) делится на 199.

а) Используем формулу суммы кубов:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Тогда

$$72^3+34^3=(72+34)(72^2-72\cdot34+34^2).$$

Так как $$72+34=106,$$ то

$$72^3+34^3=106(72^2-72\cdot34+34^2),$$

значит, число делится на $$106$$.

б) Сгруппируем слагаемые попарно:

$$1^3+2^3+\dots+182^3=(1^3+182^3)+(2^3+181^3)+\dots+(91^3+92^3).$$

В каждой паре применим формулу суммы кубов:

$$k^3+(183-k)^3=(k+183-k)\bigl(k^2-k(183-k)+(183-k)^2\bigr)=183\cdot(\dots).$$

Следовательно, каждое слагаемое в скобках делится на $$183,$$ а значит, и вся сумма делится на $$183$$.

в) Представим число как сумму кубов:

$$18^3+26^3=(18+26)(18^2-18\cdot26+26^2).$$

Так как $$18+26=44,$$ получаем

$$18^3+26^3=44(18^2-18\cdot26+26^2)=176\cdot\frac{18^2-18\cdot26+26^2}{4}.$$

Поскольку $$18^2-18\cdot26+26^2$$ делится на $$4,$$ то всё выражение делится на $$176$$.

г) Сгруппируем слагаемые попарно:

$$2^3+3^3+\dots+197^3=(2^3+197^3)+(3^3+196^3)+\dots+(99^3+100^3).$$

Для каждой пары имеем:

$$k^3+(199-k)^3=(k+199-k)\bigl(k^2-k(199-k)+(199-k)^2\bigr)=199\cdot(\dots).$$

Значит, каждая пара делится на $$199,$$ поэтому и вся сумма делится на $$199$$.

Ответ

а) делится на $$106$$; б) делится на $$183$$; в) делится на $$176$$; г) делится на $$199$$.