Упр.1.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.11. Найдите все натуральные числа x и у такие, что: а) 7x + 12у = 50; в) 5х — у = 17; б) 11х + 18y = 98; г) 5x-11y = 137.

Подробный ответ

$$7x+12y=50$$
Так как $$50-12y$$ должно делиться на $$7$$, подбираем натуральные значения $$y$$. При $$y=3$$ получаем:
$$7x+36=50$$
$$7x=14$$
$$x=2$$
Проверка: $$7\cdot 2+12\cdot 3=14+36=50$$.
Значит, $$x=2,\ y=3$$.
$$11x+18y=98$$
Подберём натуральные значения $$y$$. При $$y=3$$ получаем:
$$11x+54=98$$
$$11x=44$$
$$x=4$$
Проверка: $$11\cdot 4+18\cdot 3=44+54=98$$.
Значит, $$x=4,\ y=3$$.
$$5x-y=17$$
Выразим $$y$$:
$$y=5x-17$$
Так как $$y$$ — натуральное число, то $$5x-17>0$$, откуда $$x>3$$.
Пусть $$x=3+n$$, где $$n\in \mathbb{N}_0$$. Тогда
$$y=5(3+n)-17=15+5n-17=5n-2$$
Чтобы $$y$$ было натуральным, нужно $$5n-2>0$$. При $$n=1$$ получаем:
$$x=4,\quad y=3$$
Проверка: $$5\cdot 4-3=20-3=17$$.
Значит, $$x=4,\ y=3$$.
$$5x-11y=137$$
Перенесём числа:
$$5x-115=11y+22$$
$$5(x-23)=11(y+2)$$
Так как $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа, то $$x-23$$ кратно $$11$$, а $$y+2$$ кратно $$5$$. Пусть
$$x-23=11n,\quad y+2=5n$$
Тогда
$$x=11n+23,\quad y=5n-2$$
Подставим в уравнение:
$$5(11n+23)-11(5n-2)=137$$
$$55n+115-55n+22=137$$
$$137=137$$
Следовательно, подходит любое натуральное $$n$$, при котором $$y=5n-2$$ — натуральное число. Минимально при $$n=1$$:
$$x=34,\quad y=3$$
Но в общем виде все решения задаются формулами:
$$x=11n+23,\quad y=5n-2,\quad n\in \mathbb{N}$$