Упр.1.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 1.10. Объясните, почему не существует натуральных чисел а и b таких, что: а) 152а + 1346 = 12 345; б) 150а + 1356 = 1234.

а) Предположим, что существуют натуральные числа $$a$$ и $$b$$ такие, что

$$152a+134b=12345.$$

Заметим, что $$152$$ и $$134$$ делятся на $$2$$, значит левая часть делится на $$2$$:

$$152a+134b=2(76a+67b).$$

Следовательно, число $$12345$$ тоже должно делиться на $$2$$. Но $$12345$$ — нечётное число, значит на $$2$$ не делится. Противоречие.

Значит, натуральных чисел $$a$$ и $$b$$, удовлетворяющих равенству, не существует.

б) Предположим, что существуют натуральные числа $$a$$ и $$b$$ такие, что

$$150a+135b=1234.$$

Заметим, что $$150$$ и $$135$$ делятся на $$15$$, значит левая часть делится на $$15$$:

$$150a+135b=15(10a+9b).$$

Следовательно, число $$1234$$ должно делиться на $$15$$. Но $$1234$$ на $$15$$ не делится, так как не делится ни на $$3$$, ни на $$5$$. Противоречие.

Значит, натуральных чисел $$a$$ и $$b$$, удовлетворяющих равенству, не существует.

Ответ

В обоих случаях натуральных чисел $$a$$ и $$b$$ не существует.