Упр.96 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на указанном промежутке: а) $$y=-\frac{6}{x}$$ на луче $$[1;+\infty)$$; б) $$y=\frac{4}{x+1}$$ на отрезке $$[0;3]$$; в) $$y=\frac{8}{x}-2$$ на отрезке $$[-4;-1]$$; г) $$y=-\frac{4}{x-3}+1$$ на полуинтервале $$(3;7]$$.
а) $$y=-\frac{6}{x}$$ на луче $$[1;+\infty)$$.
На этом промежутке функция возрастает, так как $$y’=\frac{6}{x^2}>0$$ при $$x>0$$. Поэтому наименьшее значение достигается в левой границе:
$$y(1)=-\frac{6}{1}=-6.$$
При $$x\to+\infty$$ имеем $$y\to 0^-$$, но значение $$0$$ не достигается.
Ответ: $$y_{\min}=-6,$$ наибольшего значения нет.
б) $$y=\frac{4}{x+1}$$ на отрезке $$[0;3]$$.
На отрезке $$[0;3]$$ функция убывает, так как $$y’=-\frac{4}{(x+1)^2}<0.$$ Значит, наибольшее значение — в левой границе, наименьшее — в правой:
$$y(0)=\frac{4}{0+1}=4,$$
$$y(3)=\frac{4}{3+1}=1.$$
Ответ: $$y_{\min}=1,$$ $$y_{\max}=4.$$
в) $$y=\frac{8}{x}-2$$ на отрезке $$[-4;-1]$$.
На этом отрезке функция возрастает, так как $$y’=-\frac{8}{x^2}<0$$ при $$x<0$$, а при движении слева направо значения увеличиваются. Найдём значения на концах отрезка:
$$y(-4)=\frac{8}{-4}-2=-2-2=-4,$$
$$y(-1)=\frac{8}{-1}-2=-8-2=-10.$$
Ответ: $$y_{\min}=-10,$$ $$y_{\max}=-4.$$
г) $$y=-\frac{4}{x-3}+1$$ на полуинтервале $$\left(3;7\right].$$
На этом промежутке функция возрастает, так как $$y’=\frac{4}{(x-3)^2}>0.$$ При $$x\to 3+$$ значение функции стремится к $$-\infty$$, поэтому наименьшего значения нет. Наибольшее значение достигается в точке $$x=7$$:
$$y(7)=-\frac{4}{7-3}+1=-\frac{4}{4}+1=-1+1=0.$$
Ответ: наименьшего значения нет, $$y_{\max}=0.$$
