Упр.95 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Функция задана формулой:

а) $$y=\frac{1}{x}+4$$
б) $$y=-\frac{4}{x-3}+5$$
в) $$y=-\frac{2}{x-5}$$
г) $$y=\frac{3}{x+1}-2$$

Не выполняя построения графика, найдите:

1. область определения функции;
2. множество значений функции;
3. промежутки монотонности функции;
4. координаты центра симметрии гиперболы;
5. асимптоты гиперболы.

Рассмотрим каждую функцию вида $$y=\dfrac{k}{x-a}+b.$$

Для такой гиперболы:

• область определения: $$x\ne a$$;
• множество значений: $$y\ne b$$;
• центр симметрии: $$\left(a;\,b\right)$$;
• асимптоты: $$x=a$$ и $$y=b$$;
• если $$k>0$$, то функция убывает на каждом из промежутков $$(-\infty;\,a)$$ и $$(a;\,+\infty)$$;
• если $$k<0$$, то функция возрастает на каждом из промежутков $$(-\infty;\,a)$$ и $$(a;\,+\infty)$$.

а) $$y=\dfrac{1}{x}+4$$

$$x\ne 0,$$

$$y\ne 4,$$

функция убывает на $$(-\infty;\,0)$$ и $$(0;\,+\infty),$$

центр симметрии: $$\left(0;\,4\right),$$

асимптоты: $$x=0,$$ $$y=4.$$

б) $$y=-\dfrac{4}{x-3}+5$$

$$x\ne 3,$$

$$y\ne 5,$$

функция возрастает на $$(-\infty;\,3)$$ и $$(3;\,+\infty),$$

центр симметрии: $$\left(3;\,5\right),$$

асимптоты: $$x=3,$$ $$y=5.$$

в) $$y=-\dfrac{2}{x-5}$$

$$x\ne 5,$$

$$y\ne 0,$$

функция возрастает на $$(-\infty;\,5)$$ и $$(5;\,+\infty),$$

центр симметрии: $$\left(5;\,0\right),$$

асимптоты: $$x=5,$$ $$y=0.$$

г) $$y=\dfrac{3}{x+1}-2$$

$$x\ne -1,$$

$$y\ne -2,$$

функция убывает на $$(-\infty;\,-1)$$ и $$(-1;\,+\infty),$$

центр симметрии: $$\left(-1;\,-2\right),$$

асимптоты: $$x=-1,$$ $$y=-2.$$

Ответ:

а) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\},\ E(y)=\mathbb{R}\setminus\{4\},$$ убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty),$$ центр $$\left(0;4\right),$$ асимптоты $$x=0,\ y=4.$$
б) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{3\},\ E(y)=\mathbb{R}\setminus\{5\},$$ возрастает на $$(-\infty;3)$$ и $$(3;+\infty),$$ центр $$\left(3;5\right),$$ асимптоты $$x=3,\ y=5.$$
в) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{5\},\ E(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\},$$ возрастает на $$(-\infty;5)$$ и $$(5;+\infty),$$ центр $$\left(5;0\right),$$ асимптоты $$x=5,\ y=0.$$
г) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-1\},\ E(y)=\mathbb{R}\setminus\{-2\},$$ убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(-1;+\infty),$$ центр $$\left(-1;-2\right),$$ асимптоты $$x=-1,\ y=-2.$$