Упр.94 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите графически систему уравнений:
   
   а) $$y=(x+3)^2-3$$, $$y=x+6$$
   
   б) $$y=-x^2-4x$$, $$y=(x+1)^2-1$$
   
   в) $$y=2x+5$$, $$y=-x^2+8x-3$$
   
   г) $$y=x^2-6x+6$$, $$y=-(x-4)^2+2$$

Найдём точки пересечения графиков каждой системы.

а)

$$\begin{cases} y=(x+3)^2-3,\\ y=x+6. \end{cases}$$

Приравняем правые части:

$$(x+3)^2-3=x+6$$

$$x^2+6x+9-3=x+6$$

$$x^2+5x=0$$

$$x(x+5)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=-5.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$x=0 \Rightarrow y=6,\qquad x=-5 \Rightarrow y=1.$$

Точки пересечения: $$(-5;1)$$ и $$(0;6)$$.

б)

$$\begin{cases} y=-x^2-4x,\\ y=(x+1)^2-1. \end{cases}$$

Упростим второе уравнение:

$$y=(x+1)^2-1=x^2+2x.$$

Приравняем:

$$-x^2-4x=x^2+2x$$

$$2x^2+6x=0$$

$$2x(x+3)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=-3.$$

Найдём $$y$$:

$$x=0 \Rightarrow y=0,\qquad x=-3 \Rightarrow y=3.$$

Точки пересечения: $$(-3;3)$$ и $$(0;0)$$.

в)

$$\begin{cases} y=2x+5,\\ y=-x^2+8x-3. \end{cases}$$

Приравняем:

$$2x+5=-x^2+8x-3$$

$$x^2-6x+8=0$$

$$(x-2)(x-4)=0$$

$$x=2 \text{ или } x=4.$$

Найдём $$y$$:

$$x=2 \Rightarrow y=9,\qquad x=4 \Rightarrow y=13.$$

Точки пересечения: $$(2;9)$$ и $$(4;13)$$.

г)

$$\begin{cases} y=x^2-6x+6,\\ y=-(x-4)^2+2. \end{cases}$$

Приравняем:

$$x^2-6x+6=-(x-4)^2+2$$

$$x^2-6x+6=-x^2+8x-14$$

$$2x^2-14x+20=0$$

$$x^2-7x+10=0$$

$$(x-2)(x-5)=0$$

$$x=2 \text{ или } x=5.$$

Найдём $$y$$:

$$x=2 \Rightarrow y=-2,\qquad x=5 \Rightarrow y=1.$$

Точки пересечения: $$(2;-2)$$ и $$(5;1)$$.

Ответ

а) $$(-5;1),\ (0;6)$$; б) $$(-3;3),\ (0;0)$$; в) $$(2;9),\ (4;13)$$; г) $$(2;-2),\ (5;1)$$.