Упр.92 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Квадратичная функция задана уравнением:
а) $$y=12-3x^2$$;
в) $$y=-(x-1)^2+4$$;
б) $$y=0{,}5(x-2)^2$$;
г) $$y=2x^2-4x+5$$.

Не выполняя построения графика, определите:
1) координаты вершины параболы;
2) ось симметрии параболы;
3) промежутки возрастания и убывания функции;
4) наибольшее либо наименьшее значение функции;
5) множество значений функции.

Для квадратичной функции удобно использовать вид $$y=a(x-h)^2+k,$$ где вершина параболы имеет координаты $$\left(h;k\right),$$ а ось симметрии задаётся уравнением $$x=h.$$

а) $$y=12-3x^2$$

Запишем функцию в виде $$y=-3x^2+12.$$

1) Вершина параболы: $$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\cdot(-3)}=0,$$ $$y=12-3\cdot 0^2=12.$$

Значит, вершина: $$\left(0;12\right).$$

2) Ось симметрии: $$x=0.$$

3) Так как $$a=-3<0,$$ парабола направлена ветвями вниз, поэтому функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и убывает на $$\left(0;+\infty\right).$$

4) Наибольшее значение: $$y_{\max}=12.$$

5) Множество значений: $$E(y)=(-\infty;12].$$

б) $$y=0{,}5(x-2)^2$$

1) Вершина параболы сразу видна из канонического вида: $$\left(2;0\right).$$

2) Ось симметрии: $$x=2.$$

3) Так как $$a=0{,}5>0,$$ парабола направлена ветвями вверх, значит, функция убывает на $$(-\infty;2)$$ и возрастает на $$\left(2;+\infty\right).$$

4) Наименьшее значение: $$y_{\min}=0.$$

5) Множество значений: $$E(y)=\left[0;+\infty\right).$$

в) $$y=-(x-1)^2+4$$

1) Вершина параболы: $$\left(1;4\right).$$

2) Ось симметрии: $$x=1.$$

3) Так как $$a=-1<0,$$ функция возрастает на $$(-\infty;1)$$ и убывает на $$\left(1;+\infty\right).$$

4) Наибольшее значение: $$y_{\max}=4.$$

5) Множество значений: $$E(y)=(-\infty;4].$$

г) $$y=2x^2-4x+5$$

1) Найдём абсциссу вершины:

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 2}=1.$$

Тогда

$$y=2\cdot 1^2-4\cdot 1+5=3.$$

Вершина: $$\left(1;3\right).$$

2) Ось симметрии: $$x=1.$$

3) Так как $$a=2>0,$$ функция убывает на $$(-\infty;1)$$ и возрастает на $$\left(1;+\infty\right).$$

4) Наименьшее значение: $$y_{\min}=3.$$

5) Множество значений: $$E(y)=\left[3;+\infty\right).$$

Ответ

а) $$\left(0;12\right),\ x=0,\ (-\infty;0)\ \text{и}\ \left(0;+\infty\right),\ y_{\max}=12,\ E(y)=(-\infty;12].$$
б) $$\left(2;0\right),\ x=2,\ (-\infty;2)\ \text{и}\ \left(2;+\infty\right),\ y_{\min}=0,\ E(y)=\left[0;+\infty\right).$$
в) $$\left(1;4\right),\ x=1,\ (-\infty;1)\ \text{и}\ \left(1;+\infty\right),\ y_{\max}=4,\ E(y)=(-\infty;4].$$
г) $$\left(1;3\right),\ x=1,\ (-\infty;1)\ \text{и}\ \left(1;+\infty\right),\ y_{\min}=3,\ E(y)=\left[3;+\infty\right).$$