Упр.91 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите значение $$k$$, при котором квадратное уравнение: а) $$5x^2-kx+5=0$$ имеет два корня; б) $$3x^2+2kx-(k-6)=0$$ имеет корни; в) $$3x^2+2kx+12=0$$ не имеет корней; г) $$2x^2-kx+k+6=0$$ имеет не более одного корня.

а) Для уравнения $$5x^2-kx+5=0$$ дискриминант равен

$$D=k^2-4\cdot 5\cdot 5=k^2-100.$$

Чтобы уравнение имело два корня, нужно $$D>0$$:

$$k^2-100>0,$$

$$(k-10)(k+10)>0.$$

Отсюда

$$k<-10 \quad \text{или} \quad k>10.$$

Ответ: $$k\in(-\infty;-10)\cup(10;+\infty).$$

б) Для уравнения $$3x^2+2kx-(k-6)=0$$ дискриминант равен

$$D=(2k)^2-4\cdot 3\cdot (-(k-6))=4k^2+12k-72.$$

Чтобы уравнение имело корни, нужно $$D\ge 0$$:

$$4k^2+12k-72\ge 0,$$

$$k^2+3k-18\ge 0,$$

$$(k+6)(k-3)\ge 0.$$

Отсюда

$$k\le -6 \quad \text{или} \quad k\ge 3.$$

Ответ: $$k\in(-\infty;-6]\cup[3;+\infty).$$

в) Для уравнения $$3x^2+2kx+12=0$$ дискриминант равен

$$D=(2k)^2-4\cdot 3\cdot 12=4k^2-144.$$

Чтобы уравнение не имело корней, нужно $$D<0$$:

$$4k^2-144<0,$$

$$k^2-36<0,$$

$$(k-6)(k+6)<0.$$

Отсюда

$$-6<k<6.$$

Ответ: $$k\in(-6;6).$$

г) Для уравнения $$2x^2-kx+k+6=0$$ дискриминант равен

$$D=k^2-4\cdot 2\cdot (k+6)=k^2-8k-48.$$

Чтобы уравнение имело не более одного корня, нужно $$D\le 0$$:

$$k^2-8k-48\le 0,$$

$$(k-12)(k+4)\le 0.$$

Отсюда

$$-4\le k\le 12.$$

Ответ: $$k\in[-4;12].$$