Упр.9.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$f(x)=2.$$

Это постоянная функция, она определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$ и для любого $$T$$ выполняется

$$f(x+T)=2=f(x).$$

Следовательно, функция периодическая.

б) $$f(x)=\frac{1-x^4}{1-x^2}-\sqrt{x^4}.$$

Найдём область определения: знаменатель не должен обращаться в нуль, значит

$$1-x^2\ne 0,\qquad x\ne \pm 1.$$

Упростим выражение:

$$\frac{1-x^4}{1-x^2}-\sqrt{x^4} = \frac{(1-x^2)(1+x^2)}{1-x^2}-x^2 = 1+x^2-x^2 = 1.$$

Но область определения не совпадает со всей прямой: функция не определена при $$x=\pm 1$$, поэтому она не является периодической.

в) $$f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}-3.$$

Область определения:

$$x-3\ne 0,\qquad x\ne 3.$$

Упростим:

$$\frac{x^2-9}{x-3}-3 = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}-3 = x+3-3 = x.$$

Получили функцию $$f(x)=x$$, но она не определена при $$x=3$$, значит периодической не является.

г) $$f(x)=\frac{1-x^4}{1+x^2}+\sqrt{x^4}.$$

Так как $$1+x^2\ne 0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, функция определена на всей числовой прямой. Упростим:

$$\frac{1-x^4}{1+x^2}+\sqrt{x^4} = \frac{(1-x^2)(1+x^2)}{1+x^2}+x^2 = 1-x^2+x^2 = 1.$$

Следовательно, функция постоянная, а значит периодическая.

Ответ

а) является; б) не является; в) не является; г) является.